zaman serileri analizi

ÖZET

Yaşantısını sürdürmek ve geliştirmek için uluslar, firmalar ve aileler geleceğe yönelik planlar yapmak zorundadırlar. Günümüzde var olan rekabetle başa çıkabilmek ve sürekli gelişmeyi sürdürebilmek için firmaların günlük satışlara, üretime, yatırıma, pazarlamaya ilişkin planlar yapmaları gereklidir. Devletler de gelecekteki gelirlerinin ve giderlerini hesaplayabilmek için plan yapar.

Olayları ve aralarındaki ilişkileri tahminlemeksizin geleceğe ilişkin planlar yapılamaz. Bir faktörün tahmini başka faktörlerinde tahminine yardımcı olabilir. Tahminlerin yapılabilmesine gerekli olan verilerin elde edilmesinin en uygun ve kolay yolu zaman serisi analizidir.

Bu zaman serileri; yıllara göre milli gelirin, istihdamın veya ihracatın kaydettiği gelişme gibi iktisadi zaman serileri olabileceği gibi, bir mağazanın aylık satışlarını, mevsimlere göre sıcaklık değerlerini veya bir canlının kalp atışlarını ifade eden; işletme, tıp veya meteoroloji konuları ile ilgili serilerde olabilir. İşletme ve iktisat alanlarında zaman serilerinin büyük önem taşımalarının sebebi, önceki dönemlere ait gözlemlerin incelenmesi ve ileriye dönük tahmin yapabilmenin mümkün olmasıdır.

Zaman serileri analizi ile ilgili yapılan bu yıl içi çalışmasında; incelenerek anlatılmış olan metotlar geleneksel metotlardır. Yeni, detaylı ve ileri matematik ve istatistik bilgilerinden yararlanılarak geliştirilmiş ve geliştirilmekte olan modern modeller ve metotlar mevcutsa da halen daha yaygın olarak kullanılanlar geleneksel metotlar olduğundan bu çalışmada ileri istatistik konularına giren bu metotlara değinilmemiştir.

1. Tanım ve Temel Kavramlar

1.1 Zaman Serisinin Tanımı

Zamanın periyodik noktalarında, bir cevap değişkeni gözlemlenmesi yoluyla verilerin toplanması zaman serisi olarak adlandırılır.[1] Bir değişken üzerine tekrarlanan gözlemler zaman serisini oluşturursa, değişken, zaman serisi değişkeni olarak tanımlanır.

Ekonomistler, işadamları, yöneticiler genelde karar vermede zaman periyodu ile kaydedilen bilgilere ihtiyaç duyar.Zaman serileri, gelecekteki operasyonların bir yıldan fazla genelde 5, 10 , 15, ve 20 yıla dayanan uzun dönem planlamasında ve tahminlemesinde kullanılanılabilen ölçümleri belirlemek için analiz edilmektedir.[2]

1.2 Zaman Serileri Nerelerde Kullanılır

Zaman serileri ile elde edilen tahminler, ülke ekonomisin planlanmasında yada işletme bazında üretim planlaması yapılmasında kolaylık sağlar. Günümüzde modern finans pazarı, özellikle stok pazarının gelişimi, zaman serisine ilginin artışına öncülük etmiştir.

1.3 Zaman Serilerinin Elemanları

Zaman serilerinin analizi seriyi oluşturan bileşenlerden ayrışımını gerektirir. Bir seriyi bileşenlerine ayırmak için kapsadığı dört bileşen arasında belli bir ilişki bulunduğu varsayılmalıdır. Genellikle izlenilen yol bir zaman serisinin birkaç bileşenini toplamı ya da çarpımından meydana geldiği varsayımıdır. [3]

Bir Klasik Modelde, Zaman Serisi Dört Elemana Sahiptir.[4]

Uzun – dönemli genel trend (T)
Konjonktür dalgalanmaları (C )
Mevsimsel dalgalanmalar (S)
Varyasyon ve düzensiz rast gele hareketler (I)

Y = (T)(C)(S)(I)

İstatistiksel yönden zaman serilerinin amacı; bahsedilen dört elemandan her birinin, olayın aldığı değerler üzerinde ne ölçüde etkili olduğunu araştırmaktır.

1.3.1 Uzun – Dönemli Genel Trend

Olayın bağlı olduğu temel ve taşıdığı özellikler, uzun – dönemde çok fazla değişmeyen belirli bir yön taşıdığından uzun – dönemli genel trend olarak adlandırılır.

Trend bir zaman bir zaman serisinin uzun dönemde belirli bir yöne doğru gösterdiği gelişme veya ilerlemedir. Trend analizi bir uzun dönem analizi olduğundan verilerin aylık veya mevsimlik olarak verilmiş olması tahlilin sonucunu etkilemeyecektir. [5]

Tendin yön ve şiddeti her zaman sabit kalmaz. Trend doğrusal yada eğrisel olabilir.

Olası Trend Gösterimleri

Şekil 1 gerçekleşmesi mümkün olan birkaç eğrisel ve doğrusal trend şekillerini göstermektedir.

Artan Doğrusal Trend

Azalan Doğrusal Trend

Azalan Oranda Eğrisel Artış

Artan Oranda Eğrisel Azalış

Artan Oranda Eğrisel Artış

Azalan Oranda Eğrisel Azalış

Şekil 1[6]

1.3.2 Konjonktür Dalgalanmaları

Bağımlı değişkende uzun bir zaman periyodunda oluşan ve ekonomide genel bir kriz olduğunda gerilemeyi, daha sonra büyümeyi karakterize eden dalgalanmalar konjonktür dalgalanmaları olarak tanımlanır.

Bir trend doğrusu veya eğrisi etrafındaki uzun dönemli dalgalanmaları konjonktür dalgalanmalarıdır. Bu hareketler mevsim dalgalanmalarına benzer şekilde periyodik olarak tekrar etmekte iseler de periyotların uzunluğu ve sürelerin belirsizliği ile dikkati çeker. [7]

Kriz

Tekrar Yükselme

Gelişme

Durgunluk

Uzun Dönem Trendi

Şekil 2 [8]

1.3.3 Mevsimsel Dalgalanmalar

Ekonomiksel olayların zaman içinde izlendiği doğal ve sosyal nedenlerden dolayı, mevsime göre oluşan değişmeler mevsimsel dalgalanmalar olarak adlandırılır. Mevsimsel dalgalanmaların dalga uzunluğu 12 ay olmaktadır.

Bu dalgalanmalar mevsimlere göre değişen alkolsüz içki, gazete veya buzdolabı satışları ile ilgili seriler olabileceği gibi, caddelerdeki trafiğin saatlere göre değişmesinin, saatlere göre sinema seyircisi sayısındaki değişmenin veya bayramlara göre satışların gösterdiği dalgalanmaların belirlendiği seriler olabilir. [9]

Dalga Uzunluğu

Dalga Şiddeti

Şekil 3 [10]

1.3.4 Varyasyon ve Düzensiz Rasgele Dağılımlar

Varyasyon ve düzensiz rasgele hareketler, doğal ve sosyo – ekonomik nedenlerden dolayı ortaya çıkabilir. Ancak, sözü edilen hareketlerin ne zaman, nasıl bir dalga şiddeti ile meydana geleceği belirsizlik taşıdığı için tahmini mümkün olmaz.

Bu nedenle bu tip hareketleri bir istatistiksel ölçüyle ifade edebilmek zordur. Örneğin sel baskınları gereke tarım gerekse sanayi üretimde büyük zararlara sebep olmaktadır. Doğa olaylarının rasgeleliğinin fazla olması nedeniyle sel baskınları önceden tahmin etmek olası değildir. [11]

2. Trendin Hesaplanmasında Kullanılan Yöntemler

2.1 Basit Grafik Yöntemi

Bu metoda göre inceleme konusu olan zaman serisi gözlem sayısı itibariyle iki eşit kısma bölünür ve her kısımdaki gözlemler için birere aritmetik ortalama hesaplanır. Bu ortalama değerleri grafiğe işaretlendikten sonar araları bir doğru ile birleştirilerek bir trend doğrusu elde edilir. [12]

İncelenen örneğin (serinin) gözlem sayısının tek veya çift sayıda olmasına göre yapılan işlem değişiklik gösterir.

Seri Çift Sayılı ise : Seri eşit olarak tam ortadan iki parçaya ayrılır.

Seri Tek Sayılı ise : Tam ortadaki eleman dikkate alınmadan seri iki eşit parçaya ayrılır.

2.1.1 Basit Grafik Yöntemi Örnek Soru [13]

Yıllar

Satışlar

(1000 Adet)

Tek sayılı zaman serilerinde tam ortadaki eleman dikkate alınmadan seri iki eşit kısma bölünür ve aritmetik ortalaması buna göre bulunur.

Yıllar

Satışlar

(1000 Adet)

Y₁= (6+10+14) / 3 = 10

2.1.2 Basit Grafik Yönteminin Dezavantajları

Basit grafik yönteminin genelde iki sakıncası vardır:[14]

Yöntem trendin doğrusal varsayımına dayandırılmakta ancak trend doğrusal olmayabilir.
Serinin her iki kısmında konjonktürel dalgalanmaların etkisinin aynı olduğu var yasılmaktadır. Özellikle ekonomiksel gelişmelerde bu durum çoğu zaman gerçeğe uymayabilir.

2.2 Hareketli Ortalamalar Yöntemi

Hareketli ortalamalar yöntemi; konjonktürel ve mevsimsel dalgalanmaları yok etmek amacıyla kullanılır. [15]

Hareketli ortalamalar bir zama serisine ait her değerin yerine, o değer ve daha önce ve sonra gelen birkaç değerin ortalamasının bu değer yerine yazılması suretiyle elde edilen bir zaman serisidir. Örneğin yıllık verilerde üçer yıllık hareketli ortalamalar hesaplamak istiyorsak, her yılın değeri bir önceki ve bir sonraki değerlerle toplanarak üçe bölünür ve bulunan değer fiili değerin yerine konulur. Benzer şekilde daha çok yılı veya ayları içine alan hareketli ortalamalar hesaplanabilir. [16]

Hareketli ortalamalar trend hesabının sağlıklı olabilmesi için gerekli şartlar şunlardır.

1. Olayın trendi doğrusal olmalı.
2. Serideki dalgaların uzunluğu aynı olmalıdır.
3. Serideki dalgaların şiddeti aynı olmalıdır.

2.2.1 Hareketli Ortalamalar Yöntemi Aşamaları

Dalga uzunlukları bulunur.

Dalga uzunlukları minimumdan minimuma yada maksimumdan maksimuma olan uzaklık olarak hesaplanır.

Kaçarlı hareketli ortalama ile hesaplanacağı bulunur.

KHO = ( Dalga Uzunlukları Toplamı) / (Dalga Sayısı)

Serinin tek yada çift sayıda olmasına göre formüllenir.

Hareketli ortalama sayısı tek sayı bulunursa yapılan hesaba (n-1) / 2 eleman az alınır. Örneğin üçerli hareketli ortalama hesaplandığında (3 – 1) / 2 =1 bulunur . Bunun anlamı, baştan ve sondan birer trend değerinin hesaplanmayacağıdır.

Hareketli ortalama sayısı çift sayı bulunursa yapılan hesaba (n) / 2 eleman az alınır. Dörderli hareketli ortalama bulunduğunu varsayarsak 4/2 = 2 elde edilir. Bu sayı, baştan ve sondan ikişer trendin hesaplanmayacağını gösterir.

2.2.2 Üçerli Hareketli Ortalamalar ile Trend Değerleri [17]

Yıllar Değerler Üçerli hareketli ortalamalarla trend değerleri

1990 Y₁

Y₂ = (Y₁+ Y₂+Y₃) / 3

1991 Y₂

Y₃ = (Y₂+ Y₃+Y₄) / 3

1992 Y₃

_{… ….}

1995 Y₆

Y₇ = (Y₆+ Y₇+Y₈) / 3

1996 Y₇

. .

2.2.3 Hareketli Ortalamalar Yöntemi Örnek Soru

Aşağıdaki çizelgede bir zaman serisi verilmiştir.

Yıllar

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

Bu serinin tahmini değerini hareketli ortalamalar yöntemiyle hesaplayarak trendi çiziniz.

Hareketli Ortalamalar Yöntemi Örnek Soru Çözümü

İlk olarak dalga uzunlukları hesaplanır. Serinin minimumdan minimuma yöntemiyle dalga uzunlukları bulunur.

Kaçarlı ortalama ile hesaplanacağının bulunması.

KHO = (4+3+4)/3=3,67

KHO için 4 değeri alınır.

Trend Değerlerinin bulunması :

Dörderli hareketli ortalamalar ile trend değerleri bulunur.

n = 4 olduğundan n / 2 = 4 / 2 = 2 den dolayı serinin baştan ve sondan ikişer trend değeri hesaplanmamıştır.

Yıllar (X)

Satışlar ( Y) ( Milyar TL)

1. Dalga uzunluğu : 4 yıl

2. Dalga uzunluğu : 3 yıl

3. Dalga uzunluğu : 4 yıl

Yıllar (X) Satışlar (Y) Dörderli Hareketli Ortalamalarla Trend Değerleri

1986 4 ——————-

1987 6 ——————-

Ŷ_2-3=(4+6+12+14)/4= 9

1988 12

Ŷ_3-4=(6+12+14+8)/4=10

1989 14

Ŷ_4-5=(10+14+8+10)/4=11

1990 8

Ŷ_5-6=(14+8+10+14)/4=11.5

1991 10

Ŷ_6-7=(8+10+14+10)/4=10.5

1992 14

Ŷ_7-8=(10+14+10+16)/4=12.5

1993 10

Ŷ_8-9=(14+10+16+10)/4=14.5

1994 16

Ŷ_9-10=(10+16+18+20)/4=16

1995 18

Ŷ_10-11=(16+18+20+14)/4=17

1996 20 ———————-

1997 14 ———————–

TREND

2.2.4 Yöntemin Dezavantajları

Yöntemin Dezavantajları[18]

• Hareketli ortalamalar için gerekli şartlar sağlanamazsa, doğru sonuçlar elde edilmez.

• Hareketli ortalamalar tekniği ile elde edilen sonuçlar serideki uzun ve şiddetli dalgaların etkisi altındadır.

• Serinin başındaki ve sonundaki bazı elemanların hareketli ortalaması bulunamaz.

2.3 En Küçük Kareler Yöntemi

Yöntemin esası; zaman ile sonuçlar arasındaki fonksiyonel ilişkiyi ortaya çıkarmaktır. [19]

Trendi en iyi tanımlayacak fonksiyon tipinin seçilmesi

Zaman X, olayın aldığı değerler Y ekseni üzerinde işaretlenerek olayın grafiği çizilir. Bu grafikten olayın uzun dönemde nasıl bir gelişme gösterdiği hangi tip fonksiyonla ifade edilebileceği, bükülme noktasına göre eğirinin derecesi belirlenir.

Fonksiyon tipi grafikle belirlenmesi mümkün olmadığında, fonksiyon tiplerinin standart hataları hesaplanır; en küçük standart sapması olan fonksiyon tipi seçilir.

2.3.1 Kullanılan Fonksiyonun Verilere En Yakın Denkleminin Yazılması

Doğrusal Denklem : Y = a + bX

Bu eşitlik genelde artma ve azalmaları sabitlik gösteren seriler için kullanılır.

Parabol Denklemi : Y = a + bX + cX2

Bu eşitlik, yükselmeyi alçalmanın takip ettiği yön değiştirmeyi veren veriler için kullanılır.

Üstel Denklem : Y = a.bX

Bu denklem, artma yada azalma oranı sabit olan serileri hesaplamayı sağlar.

Hiperbol Denklemi : 1 / Y = a + bX

Kübik Denklem : Y = a + bX + cX2 + dX3

Serinin grafiğinde alçalma ve yükselmeleri içeren iki bükülme varsa kullanılır.

Geometrik Denklem : Y = a . Xb

Bu denklemlerde;

Y : Değerleri

X : Yılları

a, b, c : Regresyon katsayılarını temsil ediyor.

2.3.2 Doğrusal Denklem Yöntemi

Y = a + bX denklemindeki a ve b katsayıları iki yolla hesaplanır.[20]

YOL : Normal Denklemler

YOL : Kodlu Yol

a) Seri Tek Sayıda İse: Zaman bloğunda, tam ortadaki değer orijin olarak alınarak, sıfır değeri konur. Bundan öncekilere -1,-2,-3, vb; sonrakilere ise +1, +2, +3 değeri verilir.

b) Seri Çift Sayıda İse: Zaman sütununda tam ortadaki iki değerden büyük olana +1, küçük olana – 1 değeri verilerek +3, +5 , … ve -3, -5, … konularak işleme devam edilir.

2.3.2.1 Standart Hatanın Hesabı

n < 30 ise n ≥ 30 ise

Yol :

Yol :

S_yx : Tahminin Standart Hatasını

Y : Bağımlı değişkenin gözlenen değerini[21]

Y’ : Bağımlı değişkenin regresyondan hesaplanan değerini